Практическая направленность обучения математике в цифровую эпоху: чему действительно стоит учить детей?

По материалам статей и вебинаров Ронды Фарер – специалиста из университета Квинсленда (Австралия), эксперта в области математического и инклюзивного образования, автора книг и статей про обучение математике детей и подростков с синдромом Дауна.

Традиционно учебные программы, разработанные для людей c интеллектуальными нарушениями, фокусировались на развитии базовых навыков. Так, математика, применимая с точки зрения практической, житейской пользы, всегда сосредоточивалась на базовой арифметике. Возможно, это было правильным подходом к обучению человека с синдромом Дауна в прошлом, но что такое «применимая математика», которая необходима человеку для полноценного функционирования в обществе в нашем быстро меняющемся цифровом мире?

В настоящее время человечество переживает эпоху формирования цифрового пространства, проникающего во все сферы жизни общества. Это новые возможности, огромный поток информации, который необходим для полноценной ориентировки в окружающей действительности. Сегодня без ноутбуков, смартфонов и других девайсов большинство людей уже не представляет своей жизни. Как же следует преподавать математику в этот электронный век, когда математические инструменты так легкодоступны? 

Общий вывод, сделанный на основании собранных до начала XXI века данных, заключался в том, что у большинства учащихся с синдромом Дауна наблюдаются трудности с математикой, и весьма серьезные [5]. При этом во всех исследованиях, на основе которых собирались эти данные, обучение математике сводилось только к арифметике. Кроме того, исследователи опирались на иерархическую концепцию математической науки, согласно которой владение арифметикой является необходимой основой для любого дальнейшего продвижения в изучении математики. 

Батлер и его коллеги, проводя обзор тематической литературы конца XX века, отмечают: «Традиционно обучение базовым навыкам, включая практическую математику и жизненные умения, было в центре внимания учебных программ по математике, разработанных для лиц с интеллектуальными нарушениями. Даже типично развивающиеся дети приобретают базовые навыки с небольшими проблемами, а дети с интеллектуальными нарушениями часто заканчивают учебу, так и не овладев такими навыками» [6].

При этом авторы обзора не отрицают, что «умение считать, распознавание цифр, умение определить время и понимание количества важны, если люди с интеллектуальными нарушениями хотят найти работу, вести самостоятельную жизнь, овладеть базовыми навыками и успешно интегрироваться в общественную жизнь» [6]. 

Десять из шестнадцати статей, включенных в обзор Батлера и коллег, сосредоточены на улучшении вычислительных навыков учащихся, хотя они были опубликованы после 1989 года – намного позже того, как электронные калькуляторы стали общедоступны. Действительно ли этих навыков – счета, распознавания цифр, определения времени и понимания количества – достаточно? Батлер и его коллеги предполагают, что «ограничение преподавания математики заучиванием вычислений лишит учащихся с интеллектуальными нарушениями знаний о важных математических понятиях и, таким образом, помешает им преуспеть в инклюзивной среде и эффективно использовать математику в реальной жизни» [6].

В последнее время появляется всё больше исследователей, которые подвергают сомнению традиционное преподавание математики людям с интеллектуальными нарушениями. Элизабет Монари Мартинес – специалист отделения фундаментальной и прикладной математики Падуанского университета в Италии – была первой, кто бросил вызов устоявшимся представлениям, опубликовав доказательства, основанные на ее исследовании об успешном изучении математики на уровне старших классов школы учащимися с синдромом Дауна, которые ранее не овладели понятием числа [13].

Ронда Фарер и Рой Браун, которые сосредоточили свое внимание на связи между освоением математики и качеством жизни, утверждали, что области математики, выходящие за рамки арифметики, также важны и должны изучаться людьми с интеллектуальными нарушениями [8].

Многие известные педагоги утверждают, что главное в математике – научить человека мыслить, развить логическое мышление, умение самостоятельно решать проблемы, быстро улавливать суть и находить наиболее эффективный и простой подход к жизненным задачам. В концепции развития математического образования отмечается, что математика выступает как элемент общей культуры, математической грамотности и повседневного применения. Математическая грамотность – один из критериев оценки качества знаний школьников по международной программе PISA (Programme for International Student Assessment), где используется следующее определение: «Математическая грамотность – это способность человека мыслить математически, формулировать, применять и интерпретировать математику для решения задач в разнообразных практических контекстах. Она включает в себя понятия, процедуры и факты, а также инструменты для описания, объяснения и предсказания явлений. Она помогает людям понять роль математики в мире, высказывать хорошо обоснованные суждения и принимать решения, которые должны принимать конструктивные, активные и размышляющие граждане в XXI веке». 

Это определение ясно показывает, что математическая грамотность включает в себя разные разделы и дисциплины математической науки, а не только область арифметики. Кроме того, центральными аспектами являются навыки мышления и понимание влияния контекста, в котором используется математика. Нормы математической грамотности меняются в зависимости от контекста, культуры и времени. Важность понимания контекста является ключом к математической грамотности. Профессор Мерилин Гус и ее коллеги продолжили теоретизацию математической грамотности и включили в свою модель пять элементов, как показано в таблице 1 [11]. 

Таблица 1. Элементы математической грамотности

Основная цель обучения всех учащихся, в том числе с синдромом Дауна, – подготовить их ко взрослой жизни, которая требует математической грамотности. Математика лежит в основе критического мышления – одного из важнейших навыков XXI века, необходимого, чтобы не утонуть в море ненужной информации, уметь ее анализировать и обобщать, эффективно решать задачи, не стать жертвой непроверенных фактов и сомнительной статистики. 

С помощью математики мы отвечаем на простые бытовые вопросы и сложные, которые касаются социальной жизни: 

• во сколько нужно выйти из дома, чтобы успеть на собеседование по устройству на работу, с учетом дня недели, времени суток и вида транспорта, на котором мы будем добираться; 
• как создать безопасный пароль, не используя имена и даты рождения близких, и при этом легко его запомнить; 
• реально ли выиграть в лотерею; 
• как делать покупки через интернет и на что обращать внимание при распродажах.

Поэтому математическая грамотность была определена как «базовая способность», которую следует развивать во всех областях обучения. Математике отводится особое место в повышении финансовой грамотности – создание математического аппарата для решения основных финансовых задач. Фокус на формировании финансовой грамотности у школьников – пример реального применения метапредметных принципов в школе. Ученикам должен быть предоставлен доступ к учебной программе по математике, соответствующей уровню их возрастной нормы и адаптированной по мере необходимости.

Финансовая грамотность – пример меняющихся требований

Финансовая грамотность служит прекрасным примером того, как со временем меняется так называемая применимая математика. Ронда Фарер в своей статье отмечает, что умение обращаться с наличными и правильно подсчитывать сдачу уже неактуально. Гораздо важнее уметь пользоваться банковской картой, переводить деньги между счетами, составлять бюджет и понимать другие основные концепции финансовой грамотности [7]. Финансовые вопросы являются неотъемлемой частью жизни молодых людей – от выбора тарифного плана оператора мобильной связи и до принятия совместно с родителями решения о дальнейшем образовании и его финансировании. 

Развитие цифровых технологий – лишь один из стимулов для изменений в требованиях к финансовой грамотности. Важнейший навык – принимать правильные решения при большом числе возможных вариантов. Австралийская комиссия по ценным бумагам и инвестициям (ASIC) представила обзор, который демонстрирует, что большинство людей могли без особых трудностей принимать решения по простым финансовым аспектам, таким как кредит, долг или процентные ставки, но были менее компетентны в большом количестве сложных аспектов, таких как пенсионные накопления, инвестиционные сбережения, страхование и т. д. [1]. Многие доверялись советам других людей, например специалистов по финансовому планированию. Люди с интеллектуальными нарушениями часто полагаются на чьи-то мнения при принятии большинства финансовых решений. Поэтому научиться принимать правильные финансовые решения на основе советов тех, кому можно доверять, – важный аспект повышения финансовой и математической грамотности. 

Повышение финансовой грамотности среди учащихся с синдромом Дауна требует радикального пересмотра программы. Отводить много времени на обучение устаревающим навыкам и компетенциям, таким как умение обращаться с наличными деньгами, не может быть оправдано, когда требуется понимание гораздо более актуальных идей.

Действительно ли математика – иерархическая дисциплина? 

Долгое время считалось, что математика – это иерархическая дисциплина, развитие которой идет по пути от арифметики до высшей математики. Однако это не единственно возможный путь развития. Если бы нам пришлось преподавать разделы в другом порядке, возможно, были бы достигнуты другие результаты обучения.

Американский психолог Джером Брунер утверждал, что «любой предмет может быть преподнесен в том или ином виде любому ребенку на любой стадии» [4]. Его идеи привели к таким концепциям, как «спиралевидная учебная программа», суть которой заключается в способности любого ребенка к усвоению научных понятий на первых этапах обучения, а учитель будет вновь возвращаться к этим понятиям на более сложном уровне. Его концепция обеспечивает основу для понимания того, как ученики на разных стадиях развития могут изучать математические темы из разных дисциплин [4]. 

В более поздней работе 2015 года почетный профессор университета Монаш (Австралия) Хелен Форгас и ее коллега Джил Чизман подвергают еще большему сомнению допущение об иерархичности математики, поскольку они исследуют подходы к преподаванию математики в начальной и средней школах в условиях инклюзивного обучения [9]. Они отмечают: «В отличие от многих других предметов, математика считается иерархической наукой, для которой последующие уровни обучения зависят от заранее определенной последовательности, которая редко подвергается сомнению» [9: 74]. Теория обучения в целом, а также теория и методика обучения математике перешли к перспективе изучения этого предмета начиная с любого раздела, без соблюдения установленного порядка.

Еще один важный момент заключается в том, что оценки связаны не только со способностями, но и с мотивацией ребенка и его самооценкой в области преподаваемой дисциплины. Если ребенок плохо успевает в математике, он теряет интерес к предмету, но вовсе не из-за скуки, а потому что падает его самооценка. Исследователи полагают, что если повысить самооценку, то повысится и интерес к учебе. Кроме того, интерес к математике мало связан с успехами в других предметах: даже круглого двоечника можно заинтересовать задачками, если повысить его уверенность в своих силах. 

Для многих учителей изменение учебной программы по математике сначала является сложной задачей. Но на протяжении последних лет появляются примеры, которые демонстрируют успехи учащихся с синдромом Дауна в таких областях, как алгебра и аналитическая геометрия [2, 3, 13]. Недавний пример адаптации темы на уроке математики для ученика с интеллектуальными нарушениями описан ниже. 

Адаптация математической программы 9-го класса для ученика с интеллектуальными нарушениями

Учащийся 9-го класса с интеллектуальными нарушениями посещает обычную общеобразовательную школу в Брисбене. Он не умеет складывать однозначные числа, и учитель математики готовит для него простые упражнения на сложение, например 5 + 1. Остальные ученики в классе начинают изучать линейную алгебру. Учитель решил подготовить упражнения, в которых ученик мог практиковаться, подставляя диапазон значений для x, чтобы найти значение y для линейных функций, таких как y = x + 7. Ученик смог выполнить эти задачи с помощью калькулятора и научился делать это на удивление быстро [7]. 

Важно отметить ряд особенностей адаптации этого урока:

• учащийся не изолирован для изучения темы, а присутствует и работает на общем уроке по программе, соответствующей его возрасту; 
• учитель корректирует работу, которую он уже запланировал для всего класса. Он не готовит отдельный урок; 
• ученик отрабатывает также использование инструментов математики (калькулятор) и математических действий (подстановка в формулы). 

Из вышеприведенного примера мы видим, что учащиеся с интеллектуальными нарушениями, которые отстают от своих сверстников, могут усвоить отдельные темы из учебной программы по математике, если программа будет адаптирована в соответствии с их индивидуальными возможностями.

Пять принципов, которые нужно учитывать при разработке учебного плана по математике 

Как было продемонстрировано в приведенном примере, даже учащиеся со значительными трудностями в обучении математике могут освоить предмет соответственно уровню их возрастной нормы и, таким образом, сформировать основу для развития математической грамотности на протяжении всей жизни, поскольку эти знания применяются в жизненных ситуациях. Следующие принципы показывают, как можно адаптировать учебную программу по математике для учащихся с интеллектуальными нарушениями: 

1. Актуальность 
   Принцип актуальности относится к тому, чтобы учебный план по изучению математики включал именно то, что важно в наше время, а не устаревшие вещи, которые учили всегда, например некоторые аспекты арифметики. Применение базовой арифметики в нашей жизни быстро меняется и сокращается. В мире, где наличные деньги заменяются онлайн-платежами, где всем доступны калькуляторы и где регулярно используются транспортные карты для оплаты проезда в общественном транспорте, акцент на арифметических действиях больше не является таким необходимым, и одной арифметики явно недостаточно. 
2. Сосредоточенность на концепциях 
   Важно, чтобы в применимой математике акценты делались не только на методах решения тех или иных практических задач, но и на концептуальных подходах к ним. Рассмотрим пример, который относится к обучению финансовой грамотности. Методы оплаты счетов и составления бюджета могут измениться, но основная идея – нет. Использование наличных денег может уступить место банковским онлайн-переводам, которые, возможно, со временем будут заменены на переводы денег через приложения для смартфонов, но концепция, лежащая в их основе, остается прежней. Учебная программа может быть адаптирована к современным методам, если основное внимание уделяется концептуальным задачам. 
3. Обучение посредством эксплицитных методов и разнообразных заданий, которые позволяют научиться решать задачу 
   Успешность в математике зависит не только от математических навыков и концепций, но и от способности применять математику, решать задачи, принимать решения и проявлять готовность адаптировать математические знания к контексту. Как отмечают Хван и Рикконими, учащиеся с трудностями в обучении математике должны «получать возможность заниматься неструктурированными реалистичными задачами при соответствующей учебной поддержке, иначе разрыв между математическими знаниями и их использованием в реальной жизни будет продолжать увеличиваться» [12, 179]. Ориентация на «прямое обучение» без возможности развивать математическое мышление лишает возможности развивать необходимые элементы математической грамотности. Необходим баланс в предоставлении эксплицитного метода, а также возможностей для обучения с помощью разнообразных заданий [16].
4. Применение наиболее эффективных инструментов 
   Инструменты для изучения математики разнообразны. Предоставление учащимся возможности использовать целый ряд инструментов имеет решающее значение. Программное обеспечение для построения графиков, электронные таблицы, подручный развивающий материал и другие математические инструменты – это отличительная черта эффективного обучения математике для всех учащихся. 
5. Восприятие вспомогательных средств как «протезов» для успешного обучения 
   Многие учащиеся с интеллектуальными нарушениями испытывают трудности с арифметикой, но это не должно мешать им изучать другие области математики. Понимание того, как выполняются арифметические операции (вычитание, сложение и другие), является функциональной необходимостью, а способность выполнять операцию – нет, тем более когда такие инструменты, как калькуляторы, легкодоступны. В ситуациях, когда студент не может произвести расчет, калькулятор становится его «протезом», устройством, которое может выполнять функцию, когда тело не в состоянии. Доступность калькуляторов делает их идеально подходящими для поддержки навыков счета на протяжении всей жизни, однако учащимся необходимо научиться их эффективному использованию. 

В наше время для того, чтобы быть грамотным, недостаточно владеть элементарными навыками чтения, счета и письма — необходимо уметь применять их в цифровой среде. Освоить математическую грамотность вполне доступно для учащихся с синдромом Дауна при условии, что их правильно обучают и оказывают поддержку, руководствуясь реалистичным пониманием того, что такое применимая математика в цифровую эпоху. Важной основой является богатая учебная программа по математике, включающая темы из разных разделов. Необходимо помнить, что арифметика – это лишь одна из областей математики. Другие области, включая геометрию, алгебру, статистику и теорию вероятности, не менее важны, ведь то, как мы применяем математику в разных жизненных ситуациях, также меняется с появлением новых технологий.

Литература

1. National consumer and financial literacy framework. ASIC, 2011. URL: http://www.curriculum.edu.au/verve/_resources/National_Consumer_Financial_Literacy_Framework_FINAL.Pdf 
2. Browder D. M., Spooner F. Teaching language arts, math, & science to students with significant cognitive disabilities. Baltimore, MA : Brookes, 2006. 344 р. 
3. Browder D. M., Jimenez B., Trela K. Grade-aligned math instruction for secondary students with moderate intellectual disability // Education and Training in Autism and Developmental Disabilities. 2012. Vol. 47, № 3. P. 373–388. 
4. Bruner J. S. The process of education. Cambridge, MA : Harvard University Press, 1960. 97 p. 
5. Buckley S., Bird G. Number Skills for Individuals with Down Syndrome: An Overview. Pt. 1. Down Syndrome Educational Trust, 2001. 22 р. (Down Syndrome Issues & Information) 
6. Teaching mathematics to students with mild-to-moderate mental retardation: A review of the literature / F. M. Butler et al. // Mental Retardation. 2011. Vol. 39, № 1. 20–31.
7. Faragher R. The New ‘Functional Mathematics’ for Learners with Down Syndrome: Numeracy for a Digital World // International Journal of Disability, Development and Education. 2019. Vol. 66, № 2. P. 206–217. 
8. Faragher R., Brown R. I. Numeracy for adults with down syndrome: It’s a matter of quality of life // Journal of Intellectual Disability Research. 2005. Vol. 49, № 10. P. 761–765. 
9. Forgasz H., Cheeseman J. Effective and inclusive mathematics teaching and learning // Inclusive pedagogy across the curriculum (International Perspectives on Inclusive Education, Vol. 7). Bingley, UK : Emerald Group, 2015. P. 73–97.
10. Gil Clemente E. Didáctica de las matemáticas para niños con síndrome de Down a partir de una visión integrada de la aritmética y geometría elementales Tesis Doctoral. Zaragoza, Spain : Universidad de Zaragoza, 2016. 
11. Goos M., Geiger V., Bennison A. Conceptualising and enacting numeracy across the curriculum // Proceedings of 39th Psychology of Mathematics Education conference (Vol. 3). Hobart, Australia : PME, 2015. Р. 9–16.
12. Hwang J., Riccomini P. J. Enhancing mathematical problem solving for secondary students with or at risk of learning disabilities: A literature review // Learning Disabilities Research and Practice. 2016. Vol. 31, № 3. P. 169–181. 
13. Monari Martinez E., Benedetti N. Learning mathematics in mainstream secondary schools: Experiences of students with down’s syndrome // European Journal of Special Needs Education. 2011. Vol. 26, № 4. P. 531–540. 
14. Rowe D. A., Test D. W. Effects of simulation to teach students with disabilities basic finance skills // Remedial and Special Education. 2012. Vol. 34, № 4. P. 237–248. 
15. Sawatzki C. Lessons in financial literacy task design: Authentic, imaginable, useful // Mathematics Education Research Journal. 2017. Vol. 29, № 1. P. 25–43. 
16. Sullivan P., Mousley J., Zevenbergen R. Developing guidelines for teachers helpingstudents experiencing difficulty in learning mathematics // Proceedings of the 29th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. Canberra : MERGA, 2006. P. 496–503.
17. Zimpel A. F. Trisomy 21. What we can learn from people with Down syndrome. Gottingen : Vandenhoeck & Ruprecht, 2016. 216 p.