Опыт преподавания математики особым ученикам в Италии – в центре внимания немецких педагогов

Обзор материалов немецкого журнала «Жизнь с синдромом Дауна»

Обсуждая тему математического образования детей с синдромом Дауна, нельзя не обратиться к историческому опыту и актуальным тенденциям обучения таких детей в разных странах. Например, в Финляндии, Норвегии, Италии и Канаде уже на протяжении нескольких десятилетий школьники с синдромом Дауна и другими особенностями развития учатся вместе с нормотипичными детьми, поскольку почти все школы в этих странах являются инклюзивными. А вот в Германии гораздо позже, чем в других западных государствах, стала практиковаться инклюзия. Там до сих пор сильны традиции специального образования. В этой стране педагоги и родители учащихся сталкиваются с теми же сомнениями и вопросами, что и в России. И им, так же как и нам, еще только предстоит выстроить инклюзивное образование в систему. А потому, без сомнения, есть смысл внимательнее приглядеться к тем образцам, которые сегодня являются ориентирами для немецких педагогов.

«В то время как в Германии многие борются за реализацию школьной инклюзии, она давно стала реальностью в итальянских школах. Там уже более 40 лет дети с инвалидностью и без неё учатся вместе. Это социальное преимущество школьной политики позволило накопить богатый опыт, потому что итальянские педагоги уже многие поколения считают своим долгом организовывать школьные уроки таким образом, чтобы учитывать всё многообразие учащихся», – так начинается статья Элизабет Монари Мартинес и Торбена Рикманна «Переосмысление преподавания математики: алгебра, геометрия и индивидуальное обучение в средней школе» [1], которая была опубликована в немецком журнале «Жизнь с синдромом Дауна» в 2019 году.

Элизабет Монари Мартинес окончила математический факультет Болонского университета в 1970 году и до 2010 года была научным сотрудником и доцентом Падуанского университета (Италия). После выхода на пенсию она осталась на математическом факультете как старший исследователь. Ее исследовательские интересы – алгебра и дидактика математики. Кроме того, у Монари Мартинес есть психологическое и педагогическое образование. Ее интерес к обучению и психологии вырос в 1989 году, когда у нее родился ребенок с синдромом Дауна и расстройством аутистического спектра.

Торбен Рикманн — научный сотрудник в команде профессора Андре Франка Зимпеля на педагогическом факультете Гамбургского университета. В 2013–2016 гг. он работал над исследовательским проектом «Развитие внимания для улучшения успехов в обучении людей с трисомией-21». Он является инициатором создания и разработчиком учебных материалов по математике, а также соучредителем некоммерческой ассоциации «Успешное обучение для всех».

В статье «Переосмысление преподавания математики: алгебра, геометрия и индивидуальное обучение в средней школе» Мартинес и Рикманн описывают опыт инклюзивного математического образования и результаты исследований, которые проводились в Италии. Уже в 1990-е здесь произошла смена парадигмы, и она продолжает оказывать сильное влияние на международный научный дискурс о дидактике математики для людей с синдромом Дауна.

«Вместо того чтобы снова и снова давать учащимся, у которых есть трудности с арифметикой, одни и те же арифметические задачи, в центр внимания были выдвинуты другие области математики, – пишут авторы. – Потому что арифметика, которая описывает операции с натуральными числами, – это только часть математики. Для школьников с трисомией-21 она часто представляет серьезный вызов».

В Италии был собран примечательный опыт, полученный после того, как преподавание математики было дополнено алгеброй и геометрией. Учащиеся с трисомией-21, несмотря на трудности с арифметикой, обучались решению алгебраических уравнений.

Элизабет Монари Мартинес и ее немецкий коллега призывают педагогов попробовать такие методы преподавания и открыть для себя алгебру как подходящую область обучения людей с синдромом Дауна.

После закрытия почти всех вспомогательных школ в Италии в 1977 г. учащиеся с ограниченными возможностями, которые посещали начальные школы или школы средней ступени, были приняты в обычные общеобразовательные учреждения. В 1992 году последовало расширение совместного обучения в общеобразовательных школах второй ступени: теперь уже все итальянские школы были обязаны принимать в обычные классы всех учащихся в возрасте от 3 до 19 лет, независимо от тяжести нарушений их развития, и обучать, при необходимости прибегая к помощи педагогов-дефектологов.

В связи с этим в 1995 году мать 15-летнего мальчика с трисомией-21 обратилась к Монари Мартинес и попросила поддержать обучение ее сына математике в первом классе второй ступени. Она заметила, что сын скучает над постоянно повторяющимися задачами на сложение и вычитание, в то время как его одноклассники занимаются решением алгебраических уравнений.

Монари Мартинес в тот момент занималась исследованиями на математическом факультете Падуанского университета. У нее самой был пятилетний сын с синдромом Дауна. Поскольку в то время еще не существовало результатов исследований относительно преподавания детям с синдромом Дауна элементарной алгебры на уроках математики, она решила выяснить, какое содержание обучения на инклюзивных уроках математики подходит для учеников с трисомией-21. Через некоторое время она пришла к выводу, что, хотя арифметика играет важную роль в математике, существует еще много других подобластей, которые можно изучать с детьми с синдромом Дауна. А такие вспомогательные инструменты, как калькуляторы или визуальные подсказки, помогут компенсировать их трудности в арифметике.

Также, по мнению Монари Мартинес и ее коллег, люди с трисомией-21 могут обладать способностями к логическому и пространственному мышлению и развивать их. Они могут применять алгоритмы и использовать символы. «Такие навыки решения проблем в повседневной жизни важнее арифметики, и это может стать основой математического обучения», – утверждают авторы статьи. По их словам, с позиции людей с синдромом Дауна можно легко ответить на вопрос, зачем им изучать алгебру: они хотят заниматься с тем же обучающим материалом, что и их одноклассники. Как и всем молодым людям, им нравится делать то, что делают их соученики. Им хочется понимать, чем остальные занимаются на уроках, о чем они говорят. И ученики с синдромом Дауна способны продвигаться в поле математических знаний, получением которых занята бо́льшая часть класса. Это позитивно влияет на их уверенность в себе и способствует взаимодействию друг с другом, что особенно важно, поскольку люди с трисомией-21, как правило, склонны к депрессии.

С дидактической точки зрения решение алгебраических задач может подойти для инклюзивного обучения детей с синдромом Дауна, потому что такие решения имеют гибкий логический план. Первоначально этот план должен быть проработан в письменном виде, и в качестве помощи при работе над задачей он будет весьма полезен.

При условии, что у людей с трисомией-21 достаточно времени для практики, они не испытывают особенных трудностей, чтобы запомнить последовательность и действовать в соответствии с ней. По опыту Монари Мартинес, работа на уроке, построенная таким образом, мотивирует особых учащихся. Однако следует уделять большое внимание тому, чтобы сложность задач подбиралась индивидуально. Задачи не должны быть ни слишком сложными, ни слишком легкими.

Еще один аргумент, который приводит Мартинес в пользу обучения детей с синдромом Дауна алгебре, – это ее формальный, ясный и недвусмысленный язык. Он очень краток, но содержит всю релевантную информацию. Как только учащиеся начинают его понимать, они могут корректно интерпретировать любое уравнение и решить его.

При сосредоточении на арифметике часто не хватает именно этого понятного языка. Например, чтобы сложить многозначные числа, надо в уме следовать алгоритму, шаги которого невозможно достаточно четко записать на бумаге. Поскольку из записей не видно, почему этот алгоритм приведет к корректному результату, решение таких примеров нередко представляет трудности даже для нормотипичных учеников. Учащиеся с синдромом Дауна могут удерживать в краткосрочной памяти меньше элементов, поэтому работа с этим алгоритмом дается им особенно тяжело.

Точно такая же ясность и недвусмысленность необходима в области контроля за результатами. Правильно или неправильно был высчитан икс в уравнении – это не открытый вопрос. На него можно ответить либо да, либо нет. Именно этой ясности часто недостает учащимся с трисомией-21 при обратной связи, когда в качестве оценки учитель говорит им что-то вроде «Не так уж плохо» или «Уже вполне хорошо».

И последнее, но не менее важное: алгебра оказывается эффективным способом тренировать навык логического мышления и потому может стать одним из первых шагов в культуру математики.

Такой подход, при котором алгебра вводилась на уроках математики, хотя ученики еще не имели глубоких познаний в арифметике, не является новым. Результаты некоторых исследований 1990–2000 гг., упомянутые в статье Монари Мартинес и Торбена Рикманна, а также личный опыт преподавания математики привели авторов к выводу, что абстракции не представляют непреодолимого барьера для людей с синдромом Дауна. «Если вы хотите, чтобы учащиеся с трисомией-21 могли заниматься алгеброй, нужно сделать так, чтобы у них не было необходимости работать со множеством элементов одновременно, – пишут они. – Причина этого – в снижении объема внимания, то есть в эффекте, который ранее назывался слабостью рабочей памяти. Чем больше объектов и их связей приходится держать в сфере внимания, тем труднее дается людям с синдромом Дауна решение математических задач».

Трудности учащихся с синдромом Дауна в решении математических задач связаны не только со спецификой их внимания, но и со способностью классифицировать проблемы. Это означает неумение перенести алгоритм решения одной конкретной задачи на другую подобную. В связи с этим использовать алгебраические формулы иногда проще, чем арифметические. Например, при решении таких задач:

1. В классе 30 детей. 40 % из них мальчики. Сколько мальчиков в классе?
2. В классе 12 мальчиков. Они составляют 40 % всех детей. Сколько детей в классе?
3. В классе 30 детей. 12 мальчиков. Какова их доля в классе?

Чтобы решить эти задачи, не прибегая к алгебраическим уравнениям, необходимо запомнить три формулы:

1. Часть = проценты : 100 * целое.
2. Целое = часть * 100 : проценты.
3. Проценты = часть * 100 : целое.

При этом достаточно одной формулы, чтобы найти решения всех трех задач с помощью уравнения:

Часть = проценты : 100 * целое

То есть в приведенных выше задачах получаются следующие уравнения:

х = (40 : 100) * 30

12 = (40 : 100) * х

12 = (х : 100) * 30

Это значит, что ученику придется запомнить только одну формулу, чтобы решать задачи на проценты. В дальнейшем необходимо будет знать, какие переменные даны, а какие пока неизвестны. Достаточно подставить числа – и уравнение решено. Таким образом, акцент смещается: если ранее он был на условиях задачи, то теперь – на решении уравнения. Только после определения значения неизвестного (х) проверяется, подходит ли оно для решения задачи.

Эту стратегию решения математических задач можно разделить на несколько этапов:

1. Классифицируем, какая проблема поставлена в условии задачи, и определяем подходящую формулу.
2. Визуализируем, какие переменные известны, а какие нет.
3. Подставляем значения в формулу и записываем уравнение.
4. Решаем уравнение.
5. Интерпретируем решение в контексте исходных условий задачи и проверяем, действительно ли задача решена.

Процесс решения не всегда так линеен, как описано выше. В нем учащийся должен переключаться между шагами вперед и назад, чтобы решить уравнение. Это не заранее сформированный план, по которому можно работать, продвигаясь небольшими шагами. Использование заученных формул позволяет превратить бо́льшую часть этого процесса в алгоритм, который люди с синдромом Дауна в состоянии усвоить.

Это подтверждается в исследованиях Монари Мартинес и Пеллегрини (2010) [2], в которых 15 подростков с трисомией-21 работают с дробями и процентами, а также при решении уравнений первой степени и задач с помощью уравнений. Как выявил финальный тест, подростки не только получили новые математические навыки, но и помнили их спустя месяц. Решать алгебраические уравнения и задачи с помощью уравнений им удавалось лучше, чем осваивать другое, более привычное содержание обучения.

Ещё один интересный момент – то, как визуализация помогает объяснить особым учащимся преобразования алгебраического уравнения и проверить его правильность. Для этого используются цветные полоски бумаги. Эти полоски, размещенные справа и слева от знака равенства, всегда должны быть одинаковой длины. Многие учащиеся с трисомией-21 восприняли эту визуализацию как понятную и запоминающуюся.

Любопытны и практические примеры, которые приводятся в статье Монари Мартинес и Торбена Рикманна. В частности, авторы показывают страницу из тетради 14-летней школьницы с синдромом Дауна. Судя по этой иллюстрации, девочка не только решила задачу на проценты по ранее выученной формуле, но и смогла с помощью этого навыка рассчитать индекс массы своего тела и сравнить его с таблицей нормативных показателей веса человека в зависимости от роста и возраста. «Мой вес нормальный», – написала она внизу страницы.

Еще один пример – про 18-летнюю Франческу. У этой девушки тоже синдром Дауна. Она изучала кулинарию в средней школе, и максимум, что могла сделать на уроках математики – перемножить два многозначных числа. Учителя интерпретировали это как механическую способность, сути которой она не понимала. В связи с этим на занятиях по математике ей давали решать исключительно текстовые задачи на сложение и вычитание. Но потом для нее составили индивидуальную программу, в которую входило и изучение дробей, и уравнения, и решение текстовых задач с помощью алгебраических уравнений. Уже после одного года обучения по этой программе Франческа смогла применять полученные знания для выполнения заданий по диетологии. Этот опыт улучшил самооценку Франчески и оказал положительное влияние на ее общее развитие. Также девушка научилась справляться с повторяющимся поведением, к которому она ранее была склонна. Сегодня, после окончания школы, Франческа имеет постоянную работу в супермаркете на неполный рабочий день, а еще играет на пианино, пишет стихи, работает на компьютере и занимается гимнастикой.

Поразительный пример – про 16-летнюю Мартину, которая училась в средней сельскохозяйственной школе. Предыдущие учителя описывали Мартину как ленивую и медлительную ученицу. Она произносила отдельные словосочетания, но не умела читать, а писать могла только отдельные буквы и едва считала до десяти.

Новый педагог Мартины заметил, что она очень любит рисовать, причем рисунки у нее всегда завершенные, дополненные деталями. Используя этот интерес к рисованию, учитель показал Мартине декартову систему координат и предложил пользоваться ею как пособием для обучения. Он нарисовал и обозначил оси, так что Мартина должна была распознавать только цифры на осях. Педагог объяснил ей, что точки можно высчитать, подписать и соединить линиями. В конце концов Мартина вычислила точки, используя калькулятор, отметила их в системе координат и нарисовала линии с помощью линейки. Мартина также научилась высчитывать расстояние между двумя точками в декартовой системе координат на калькуляторе и проверять полученный результат с помощью линейки. И она была счастлива, потому что наконец поняла значение миллиметров.

«Люди с синдромом Дауна учатся иначе, чем нормотипичные люди, – пишут в заключение своей статьи Элизабет Монари Мартинес и Торбен Рикманн. – Нейродиверсивность, то есть многообразие форм мышления и обучения, должна получить уважение и быть признана в школах. Учителям следует индивидуально согласовывать особенности отдельных учеников, подчеркивать их и приспосабливать для них материал преподавания.

Для успешного преподавания математики учителя, школьники и их родители должны изменить свое прежнее понимание основ математики и искать отдельные математические области вне арифметики, а также оценить другие сферы математики, подходящие для преподавания.

Кроме того, индивидуальный прогресс в обучении каждого отдельного человека должен учитываться и одобряться. Поскольку способности и компетентность каждого человека индивидуальны, на занятиях следует пользоваться подходящими вспомогательными средствами, например калькуляторами, чтобы обеспечить выравнивание возможностей учеников и создать безбарьерное преподавание».

Литература

1. Monari Martinez E., Rieckmann T. Mathematikunterricht neu denken: Algebra, Geometrie und individualisiertes Lernen in der Sekundarstufe // Leben mit Down-Syndrom. 2019. № 92. P. 32–42.
2. Monari Martinez E., Pellegrini K. Algebra and Problem-Solving in Down Syndrome: A Study with 15 Teenagers // European Journal of Special Needs Education. 2010. Vol. 25, № 1. P. 13–29.